Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x，若f（cos²θ-2m）+f（2msinθ-2）＜0對θ∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：先判斷f（x）的奇偶性、單調性，由函數(shù)f（x）的性質可把不等式轉化為具體不等式，分離出參數(shù)m后再轉化為求函數(shù)最值問題即可解決．

解答：解：∵f（x）的定義域為R，
∴f（x）在R上是奇函數(shù)且是增函數(shù)；
∵f（cos²θ-2m）＜-f（2msinθ-2）=f（2-2msinθ），
∴cos²θ-2m＜2-2msinθ，即cos²θ-2＜2m（1-sinθ），
（1）當sinθ=1時，∴-2＜0恒成立，∴m∈R；
（2）當sinθ≠1即1-sinθ＞0時，有2m＞

cos2θ-2

1-sinθ

=

-sin2θ-1

1-sinθ

，設g(θ)=

-sin2θ-1

1-sinθ

=

-(1-sinθ)2+2(1-sinθ)-2

1-sinθ

=-[(1-sinθ)+

2

1-sinθ

]+2，
∵1-sinθ＞0∴1-sinθ+

2

1-sinθ

≥2

2

當sinθ=1-

2

時取等號，
∴g(θ)≤-2

2

+2，
∴2m＞2-2

2

，∴m＞1-

2

，
綜上有：m的取值范圍是(1-

2

，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性及其應用，考查函數(shù)恒成立問題，考查學生靈活運用知識分析問題解決問題的能力，屬中檔題．