Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（3+2x-x²）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求證f（x）在x∈（1，3）上是減函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用真數(shù)大于0解不等式即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）先利用定義推出真數(shù)在x∈（1，3）上是減函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可；
（3）先利用二次函數(shù)在固定區(qū)間上求值域的方法求出真數(shù)的取值范圍，再代入整個(gè)函數(shù)，利用以2為底的指數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增即可解題．
解答：解：（1）由3+2x-x²＞0得-1＜x＜3，函數(shù)f（x）的定義域是{x|-1＜x＜3}
（2）設(shè)1＜x₁＜x₂＜3，則3+2x₂-x₂²-（3+2x₁-x₁²）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2），
∵1＜x₁＜x₂
∴3+2x₂-x₂²-（3+2x₁-x₁²）＜0，∴3+2x₂-x₂²＜3+2x₁-x₁²，
∴l(xiāng)og₂（3+2x₂-x₂²）＜log₂（3+2x₁-x₁²）．
∴f（x）在x∈（1，3）上是減函數(shù)．
（3）當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，有0＜3+2x-x²≤4．
f（1）=log₂4=2，所以函數(shù)f（x）的值域是（-∞，2]．
點(diǎn)評：本題是對函數(shù)定義域哈值域以及函數(shù)單調(diào)性的證明的綜合考查．在證明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，一定要按取點(diǎn)，作差或作商，變形，判斷．的過程一步一步的向下進(jìn)行．