Question

如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC是⊙O的割線，且與⊙O交于B、C兩點，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點M是BC的中點，
（1）證明A、P、O、M四點共圓； 
（2）求∠OAM+∠APM的大小．

Answer 1

考點：弦切角

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（1）要證明四點共圓，可根據(jù)圓內(nèi)接四邊形判定定理：四邊形對角互補，而由AP是⊙O的切線，P為切點，易得∠APO=90°，故解答這題的關鍵是證明，∠AMO=90°，根據(jù)垂徑定理不難得到結(jié)論．
（2）由（1）的結(jié)論可知，∠OPM+∠APM=90°，只要能說明∠OPM=∠OAM即可得到結(jié)論．

解答： （1）證明：連結(jié)OP，OM，
∵AP與⊙O相切于點P，∴OP⊥AP，∵M是⊙O的弦BC的中點，∴OM⊥BC，
∴∠OPA+∠OMA=180°，∵圓心O在∠PAC的內(nèi)部，∴四邊形APOM的對角互補，
∴A、P、O、M四點共圓…（5分）
（2）解：由（1）得A、P、O、M四點共圓，∴∠OAM=∠OPM，
由（1）得OP⊥AP，∵圓心O在∠PAC的內(nèi)部，∴∠OPM+∠APM=90°，
∴∠OAM+∠APM=90°…（10分）

點評：本題是考查同學們推理能力、邏輯思維能力的好資料，題目以證明題為主，特別是一些定理的證明和用多個定理證明一個問題的題目，我們注意熟練掌握：1．射影定理的內(nèi)容及其證明； 2．圓周角與弦切角定理的內(nèi)容及其證明；3．圓冪定理的內(nèi)容及其證明；4．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定．