Question

選修4-4；坐標系與參數方程
已知直線C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數），C₂：ρ=1．
（Ⅰ）當α=

π

3

時，求C₁與C₂的交點坐標；
（Ⅱ）以坐標原點O為圓心的圓與C₁的相切，切點為A，P為OA中點，當α變化時，求P點的軌跡的參數方程，并指出它是什么曲線．

Answer 1

分析：（I）當α=

π

3

時，分別求得C₁和C₂ 的普通方程，再聯(lián)立方程組解得C₁與C₂的交點的坐標．
（II）求得C₁ 的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0，A點坐標為（sin²α，-cosαsinα），由題意求得當α變化時，P點軌跡的參數方程為

x= 1 2 sin2α y= 1 2 sinαcosα

（α為參數），消去參數，可得P點軌跡的普通方程．

解答：解：（I）當α=

π

3

時，C₁的普通方程為y=

3

（x-1），C₂ 的普通方程為x²+y²=1，
聯(lián)立方程組可得

y= 3 (x-1) x2+y2=1

解得C₁與C₂的交點為（1，0）、（

1

2

，-

3

2

）．…（5分）
（II）求得C₁ 的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0，A點坐標為（sin²α，-cosαsinα）．∴當α變化時，P點軌跡的參數方程為

x= 1 2 sin2α y= 1 2 sinαcosα

（α為參數），∴P點軌跡的普通方程為 (x-

1

4

)2+y²=

1

16

，
故P點軌跡是圓心為（

1

4

，0），半徑為

1

4

的圓．…（10分）

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，求兩曲線交點的坐標，求點的軌跡方程，屬于中檔題．