Question

已知命題p：在x∈[1，2]內(nèi)，不等式x²+ax-2＞0恒成立；命題q：函數(shù)f(x)=log

1

3

(x2-2ax+3a)是區(qū)間[1，+∞）上的減函數(shù)．若命題“p?q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

∵x∈[1，2]時(shí)，不等式x²+ax-2＞0恒成立
∴a＞

2-x2

x

=

2

x

-x在x∈[1，2]上恒成立，
令g(x)=

2

x

-x，則g（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
∴g（x）_max=g（1）=1，∴a＞1．即若命題p真，則a＞1；
又∵函數(shù)f(x)=log

1

3

(x2-2ax+3a)是區(qū)間[1，+∞）上的減函數(shù)，
∴

u(x)=x2-2ax+3a是[1，+∞)上的增函數(shù) u(x)=x2-2ax+3a＞0在[1，+∞)上恒成立

∴

a≤1 u(1)＞0

∴-1＜a≤1．即若命題q真，則-1＜a≤1．
若命題“p?q”是真命題，則有p真q假或p假q真或p，q均為真命題，
若p真q假，則有a＞1，若p假q真，則有-1＜a≤1，若p，q均為真命題，不存在a；
綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞-1．