Question

【題目】設(shè)銳角△ABC的外接圓上的任意一點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的西姆松線(xiàn)為，P的對(duì)徑點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為。證明:對(duì)上兩點(diǎn)P、Q，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱(chēng)，其中，N為△ABC的九點(diǎn)圓的圓心。

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

先證明下面的引理.

引理1 △ABC的任兩條西姆松線(xiàn)不平行,

證明 否則，設(shè)分別與直線(xiàn)AB、AC交于點(diǎn).

由與位似知其外接圓位似，位似中心為A.故三點(diǎn)共線(xiàn)，這與點(diǎn)都在上矛盾.

引理2當(dāng)且僅當(dāng)為的對(duì)徑點(diǎn)時(shí)，，且的交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上

證明 充分性.

設(shè)是上的對(duì)徑點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的西姆松線(xiàn)分別為，其中，分別為，在上的射影.

易知，點(diǎn)在以為直徑的圓上，且.

故圓內(nèi)接四邊形與圓內(nèi)接四邊形相似，且與交于點(diǎn)分別是的中點(diǎn)不妨設(shè)與凸四邊形內(nèi)部不相交(如圖).

設(shè)PP2與所夾角為.

則.

易知分別為的中點(diǎn).

則，

故

從而，點(diǎn)K在的外接圓的弧上.

又，

，

其中，R為的半徑，也是的直徑，則.

必要性.

設(shè)與的交點(diǎn)為S、T(也許S=T，且由充分性的證明知，必與有交點(diǎn)).

過(guò)點(diǎn)S、T與垂直的直線(xiàn)各有一條，由充分性知其中必有一條為(設(shè)其過(guò)點(diǎn)S).

又由引理1知上述兩條直線(xiàn)至多有一條是西姆松線(xiàn)，故由，且的交點(diǎn)在上知Q=P'，即P、Q為的對(duì)徑點(diǎn).

引理3對(duì)的兩條不同的直徑PP'、QQ'，有P"≠Q(mào)".

證明 由引理2充分性的結(jié)論易證.

回到原題.

充分性.

對(duì)的直徑PP'、QQ'，且PP'⊥QQ'.不妨設(shè)PP'不與凸四邊形內(nèi)部相交，且PP’與的夾角分別為.

由QQ'⊥PP'，則QQ'與的夾角分別為.

不妨設(shè)QQ'不與凸四邊形內(nèi)部相交.則由引理2知，在上，有，

且，.

故為的對(duì)徑點(diǎn).

必要性.(同一法)

由充分性及引理3易證.