Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

n

n-1

a_n-1（n≥2）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求和T_n=

1

2a1

+

1

3a2

+..+

1

(n+1)an

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用累積法能求出a_n=n．
（2）利用裂項(xiàng)求和法能求出T_n=

n

n+1

．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

n

n-1

a_n-1（n≥2），
∴

an

a1

=

an

an-1

×

an-1

an-2

×…×

a2

a1

=

n

n-1

×

n-1

n-2

×…×

2

1

=n，
∴a_n=n．
（2）T_n=

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．