【題目】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項的和為Sn,且對任意的m,n∈N*,
都有(Sm+n+S1)2=4a2ma2n.
(1)求的值;
(2)求證:{an}為等比數(shù)列;
(3)已知數(shù)列{cn},{dn}滿足|cn|=|dn|=an,p(p≥3)是給定的正整數(shù),數(shù)列{cn},{dn}的前p項的和分別為Tp,Rp,且Tp=Rp,求證:對任意正整數(shù)k(1≤k≤p),ck=dk.
【答案】(1)2;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)本題采用賦值法,在已知等式中令得得出的關(guān)系;(2)也采用賦值法,本題難點在于已知條件中的平方的處理,為此先取和,所得兩聯(lián)立結(jié)合(1)可得,然后令得,令得,此兩式相除得,因此,即,下面處理方法大家應(yīng)該很清楚了,由此式有,相應(yīng)兩式相減可證得結(jié)論;(3)用反證法證明,由(1),若,不妨設(shè), ,則, ,這與已知Tp=Rp矛盾,從而,于是,則,依次可證明題設(shè)結(jié)論.
試題解析:(1)由(Sm+n+S1)2=4a2na2m,得(S2+S1)2=4a,即(a2+2a1)2=4a.
因為a1>0,a2>0,所以a2+2a1=a2,即=2. 3分
證明:(2)(方法一)令m=1,n=2,得(S3+S1)2=4a2a4,即(2a1+a2+a3)2=4a2a4,
令m=n=2,得S4+S1=2a4,即2a1+a2+a3=a4.
所以a4=4a2=8a1.
又因為=2,所以a3=4a1. 6分
由(Sm+n+S1)2=4a2na2m,得(Sn+1+S1)2=4a2na2,(Sn+2+S1)2=4a2na4.
兩式相除,得=,所以==2.
即Sn+2+S1=2(Sn+1+S1),
從而Sn+3+S1=2(Sn+2+S1).
所以an+3=2an+2,故當(dāng)n≥3時,{an}是公比為2的等比數(shù)列.
又因為a3=2a2=4a1,從而an=a1·2 n-1,n∈N*.
顯然,an=a1·2 n-1滿足題設(shè),
因此{an}是首項為a1,公比為2的等比數(shù)列. 10分
(方法二)在(Sm+n+S1)2=4a2na2m中,
令m=n,得S2n+S1=2a2n. ①
令m=n+1,得S2n+1+S1=2, ②
在①中,用n+1代n得,S2n+2+S1=2a2n+2. ③
②-①,得a2n+1=2-2a2n=2(-), ④
③-②,得a2n+2=2a2n+2-2=2(-), ⑤
由④⑤得a2n+1=. ⑥ 8分
⑥代入④,得a2n+1=2a2n;⑥代入⑤得a2n+2=2a2n+1,
所以==2.又=2,
從而an=a1·2 n-1,n∈N*.
顯然,an=a1·2 n-1滿足題設(shè),
因此{an}是首項為a1,公比為2的等比數(shù)列. 10分
(3)由(2)知,an=a1·2 n-1.
因為|cp|=|dp|=a1·2p-1,所以cp=dp或cp=-dp.
若cp=-dp,不妨設(shè)cp>0,dp<0,
則Tp≥a1·2p-1-(a1·2p-2+a1·2p-3+ +a1)=a1·2p-1-a1·(2p-1-1)=a1>0.
Rp≤-a1·2p-1+(a1·2p-2+a1·2p-3+ +a1)=-a1·2p-1+a1·(2p-1-1)=-a1<0.
這與Tp=Rp矛盾,所以cp=dp.
從而Tp-1=Rp-1.
由上證明,同理可得cp-1=dp-1.如此下去,可得cp-2=dp-2,cp-3=dp-3.,c1=d1.
即對任意正整數(shù)k(1≤k≤p),ck=dk. 16分
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P到兩點(0,-),(0,)的距離之和等于4,設(shè)點P的軌跡為C.
(1)寫出C的方程;
(2)設(shè)直線y=kx+1與C交于A、B兩點,k為何值時?
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【題目】某公司研究開發(fā)了一種新產(chǎn)品,生產(chǎn)這種新產(chǎn)品的年固定成本為150萬元,每生產(chǎn)千件,需另投入成本為 (萬元), .每件產(chǎn)品售價為500元.該新產(chǎn)品在市場上供不應(yīng)求可全部賣完.
(Ⅰ)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時,該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大.
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【題目】空氣質(zhì)量主要受污染物排放量及大氣擴散等因素的影響,某市環(huán)保監(jiān)測站2014年10月連續(xù)10天(從左到右對應(yīng)1號至10號)采集該市某地平均風(fēng)速及空氣中氧化物的日均濃度數(shù)據(jù),制成散點圖如圖所示.
(Ⅰ)同學(xué)甲從這10天中隨機抽取連續(xù)5天的一組數(shù)據(jù),計算回歸直線方程.試求連續(xù)5天的一組數(shù)據(jù)中恰好同時包含氧化物日均濃度最大與最小值的概率;
(Ⅱ)現(xiàn)有30名學(xué)生,每人任取5天數(shù)據(jù),對應(yīng)計算出30個不同的回歸直線方程.已知30組數(shù)據(jù)中有包含氧化物日均濃度最值的有14組.現(xiàn)采用這30個回歸方程對某一天平均風(fēng)速下的氧化物日均濃度進行預(yù)測,若預(yù)測值與實測值差的絕對值小于2,則稱之為“擬合效果好”,否則為“擬合效果不好”.根據(jù)以上信息完成下列2×2聯(lián)表,并分析是否有95%以上的把握說擬合效果與選取數(shù)據(jù)是否包含氧化物日均濃度最值有關(guān).
預(yù)測效果好 | 擬合效果不好 | 合計 | |
數(shù)據(jù)有包含最值 | 5 | ||
數(shù)據(jù)無包含最值 | 4 | ||
合計 |
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(其中).
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點, 軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點的極坐標(biāo)為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).
(1)直線過且與曲線相切,求直線的極坐標(biāo)方程;
(2)點與點關(guān)于軸對稱,求曲線上的點到點的距離的取值范圍.
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【題目】已知平面向量 =(1,x), =(2x+3,﹣x)(x∈R).
(1)若 ∥ ,求| ﹣ |
(2)若 與 夾角為銳角,求x的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<2π)的圖象過點(,-2).
(1)求φ的值;
(2)若f()=,-<α<0,求sin(2α-)的值.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分別是AP、AD的中點,求證:
(1)直線EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
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【題目】下列命題中,真命題是( 。
A.?x0∈R,
B.?x∈R,
C.“a>1,b>1”是“ab>1”的充要條件
D.設(shè) , 為向量,則“|?|=||||”是“∥”的充要條件
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