Question

正四面體ABCD的外接球的球心為0，E是BC的中點，則直線OE與平面BCD所成角的正切值為（　�。�

Answer 1

分析：欲求直線OE與平面BCD所成角的正切值，需先找到直線在平面上的射影的位置，直線與它的射影所成角即直線OE與平面BCD所成角，根據(jù)四面體ABCD為正四面體，可得O點在平面BCD上的射影在DE上，在根據(jù)正四面體的性質，即可求∠OED的正切值．

解答：解：設正四面體ABCD的棱長為a，連接AE，DE，
∵四面體ABCD為正四面體，E為BC的中點，
∴AE=DE=

3

2

a，O點在平面ADE上，且OE等分∠AED
過O作OH垂直平面BCD，交平面BCD與H點，則H落在DE 上，
∴∠OED為直線OE與平面BCD所成角，∠OED=

1

2

∠AED
在△AED中，cos∠AED=

AE2+DE2-AD2

2AE•DE

=

1

3

，
∴cos²∠OED=

1

2

（1+cos∠AED）=

2

3

，
∴sin²∠OED=

1

3

∴tan²∠OED=

1

2

，
∴tan∠OED=

2

2

故選C．

點評：本題考查了正四面體中的線面角的求法，考查了學生的空間想象力以及計算能力，解題的關鍵是作出直線OE與平面BCD所成角．