Question

二次函數(shù)f（x）=3x²-4x+c（x∈R）的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為⊙C．
（1）求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）求⊙C的方程；
（3）問⊙C是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與c的取值無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）令x=0，得拋物線與y軸的交點(diǎn)（0，c），
令f（x）=3x²-4x+c=0，
由題意知：c≠0且△＞0，
解得：c＜

4

3

且c≠0；
（2）設(shè)圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0，得到x²+Dx+F=0，這與x²-

4

3

x+

c

3

=0是一個(gè)方程，故D=-

4

3

，F(xiàn)=

c

3

；
令x=0，得到y(tǒng)²+Ey+F=0，有一個(gè)根為c，代入得：c²+cE+

c

3

=0，解得：E=-c-

1

3

，
則圓C方程為：x²+y²-

4

3

x-（c+

1

3

）y+

c

3

=0；
（3）圓C必過定點(diǎn)（0，

1

3

）和（

4

3

，

1

3

），理由為：
由x²+y²-

4

3

x-（c+

1

3

）y+

c

3

=0，
令y=

1

3

，解得：x=0或

4

3

，
∴圓C必過定點(diǎn)（0，

1

3

）和（

4

3

，

1

3

）．