Question

13、奇函數(shù)f（x）滿足對任意x∈R都有f（2+x）+f（2-x）=0，且f（1）=9，則f（2010）+f（2011）+f（2012）的值為

-9

．

Answer 1

分析：將已知等式移項，利用奇函數(shù)的定義得到函數(shù)的周期；通過給已知等式的x賦值0求出f（2）的值；利用奇函數(shù)的定義得到f（0）得到值；利用周期性求出f（2010）+f（2011）+f（2012）的值．

解答：解：∵f（2+x）+f（2-x）=0
∴f（2+x）=-f（2-x）
∵f（x）為奇函數(shù)
∴f（2+x）=f（x-2）；f（0）=0
∴f（x）是以T=4為周期的函數(shù)
∵2010=4×502+2；2011=4×503-1；2012=4×503
∵（2+x）+f（2-x）=0
令x=0得f（2）=0
∴f（2010）+f（2011）+f（2012）=f（2）+f（-1）+f（0）=-9
故答案為：-9

點評：本題考查通過奇函數(shù)的定義及周期函數(shù)的定義求函數(shù)的周期、考查通過賦值法求特定的函數(shù)值、考查利用周期性求函數(shù)的值．