Question

如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如圖所示建立空間直角坐標系：
①求

EF

和點G的坐標；
②求異面直線EF與AD所成的角；
③求點C到截面AEFG的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,空間中的點的坐標,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由題意知A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，4），F(xiàn)（0，4，4），由此能求出

EF

，又

AG

=

EF

，能求出G（0，0，1）．
（2）由

AD

=（-1，0，0），

EF

=(-1，0，1)，能求出異面直線EF與AD所成的角．
（3）求出平面AEFG的法向量，利用向量法能求出點C到截面AEFG的距離．

解答： 解：（1）由題意知A（1，0，0），B（1，4，0），
E（1，4，4），F(xiàn)（0，4，4），
∴

EF

=（-1，0，1），又∵

AG

=

EF

，
設G（0，0，z），
∴（-1，0，z）=（-1，0，1），解得z=1，
∴G（0，0，1）．
（2）∵

AD

=（-1，0，0），

EF

=(-1，0，1)，
∴cos＜

AD

，

EF

＞=

AD • EF

| AD |•| EF |

=

2

2

，
∴異面直線EF與AD所成的角為45°．
（3）設平面AEFG的法向量

n

=(x，y，z)，
∵

AG

=（-1，0，1），

AE

=（0，4，3），
∴

n • AG =-x+z=0 n • AE =4y+3z=0

，取z=4，得

n

=（4，-3，4），
∵C（0，4，0），

AC

=(-1，4，0)，
∴點C到截面AEFG的距離d=

| AC • n |

| n |

=

|-4-12|

16+9+16

=

16 41

41

．

點評：本題考查

EF

和點G的坐標的求法，考查異面直線EF與AD所成的角的求法，考查點C到截面AEFG的距離的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．