Question

8．已知函數(shù)$f（x）={log_2}（x+\sqrt{{x^2}+1}）+\frac{{5{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}$，x∈[-k，k]（k＞0）的最大值和最小值分別為M和m，則M+m=8．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）變形，構(gòu)造函數(shù)g（x）=log₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，x∈[-k，k]（k＞0），判斷它為奇函數(shù)，設出最大值和最小值，計算即可得到所求最值之和．

解答 解：函數(shù)$f（x）={log_2}（x+\sqrt{{x^2}+1}）+\frac{{5{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}$
=log₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+5-$\frac{2}{1+{e}^{x}}$
=log₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$+4，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=log₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，x∈[-k，k]（k＞0），
即有g(shù)（-x）+g（x）=log₂（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$+log₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$
=log₂（1+x²-x²）+$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=0，
即g（x）為奇函數(shù)，
設g（x）的最大值為t，則最小值即為-t，
則f（x）的最大值為M=t+4，最小值為m=-t+4，
即有M+m=8．
故答案為：8．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用構(gòu)造函數(shù)，判斷奇偶性，考查運算能力，屬于中檔題．