Question

已知函數(shù)f(x)＝4x3－3x2cosθ＋，其中x∈R，θ為參數(shù)，且0≤θ≤2π．

(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)f(x)是否有極值；

(2)要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍；

(3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2A－1，A)內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)A的取值范圍．

 

Answer 1

(1) 無極值；(2) θ的取值范圍為；(3) A的取值范圍是．

【解析】

試題分析：(1)由題得f(x)＝4x3 ，由冪函數(shù)性質(zhì)知，在R上為增函數(shù)，無極值；(2)對原函數(shù)求導(dǎo)且令，解得或，當(dāng)時(shí)，可求得極小值，令得，當(dāng)，所求極小值不會小于零，可得范圍；(3) 函數(shù)f(x)在區(qū)間(2A－1，A)內(nèi)都是增函數(shù)，則A需滿足不等式組或，解得的范圍．

【解析】
(1)當(dāng)時(shí)，f(x)＝4x3，則f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，故無極值． 2分

(2)f′(x)＝12x2－6xcosθ，

令f′(x)＝0，得x1＝0，． 3分

當(dāng)時(shí)，容易判斷f(x)在(－∞，0]，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

故f(x)在處取得極小值 5分

由，即，可得．

由于0≤θ≤2π，故或． 7分

同理，可知當(dāng)時(shí)，f(x)在x＝0處取得極小值，此時(shí)，當(dāng)f(0)>0時(shí)，，與相矛盾，所以當(dāng)時(shí)，f(x)的極小值不會大于零．

綜上，要使函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)的極小值大于零，θ的取值范圍為． 9分

(3)由(2)，知函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0]與 內(nèi)都是增函數(shù)，由題設(shè)：函數(shù)在(2A－1，A)內(nèi)是增函數(shù)，則A需滿足不等式組或 (其中θ∈時(shí)，)． 12分

從而可以解得A≤0或，

即A的取值范圍是． 14分

考點(diǎn)：函數(shù)的極值，由三角函數(shù)求角的范圍，函數(shù)的單調(diào)性．