Question

【題目】已知函數(shù)（）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）記兩個(gè)極值點(diǎn)分別為， （），求證： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，將函數(shù)由兩個(gè)不等極值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不等零點(diǎn)，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（Ⅱ）合理構(gòu)造函數(shù)，將證明不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.

試題解析：（Ⅰ）依題，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，所以方程在有兩個(gè)不同根，即方程在有兩個(gè)不同根.即函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)圖象的直線斜率為，只須.令切點(diǎn)，所以，又，所以，

解得， ，于是，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 分別是方程的兩個(gè)根，即.

作差得， ，即.

所以不等式，等價(jià)于，

下面先證，即證，

令，∵，∴，即證（），

令（），則，

∴在上單調(diào)遞增，∴，

即得證，從而得證；

再證，即證，即證（），

令（），則，

∴在上單調(diào)遞減，∴，

即得證，從而得證，

綜上所述， 成立，即.