Question

 （本小題12分） 如圖，在五面體中，∥，，，四邊形為平行四邊形，平面，．

求：（1）直線到平面的距離；

（2）二面角的平面角的正切值．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】第一問中利用三垂線定理得到。第二問運用二面角的定義作出角或者利用空間向量法表示法向量從而得到二面角的平面角的大小。

第一問（1）AB∥DCDC平面EFCD, AB到面EFCD,的距離等于點A到面EFCD,的距離，過點A作于G，因AB∥DC，故CDAD；又FA平面ABCD，由三垂線定理可知，CDFD，故CDFAD，知CDAG，所以AG為所求直線AB到面EFCD,的距離

在中，

由平面ABCD，得FAAD，從而在中，

。即直線AB到平面EFCD,的距離為。

（2）中由己知，F(xiàn)A平面ABCD，得FAAD，又由，知DAAB，故AD平面ABFE

DAAE，所以，為二面角F-AD-E的平面角，記為.

在中, AE=,由ABCD得,FE//AB,從而

在中, FE=  ,故

所以二面角的平面角的正切值為.

解：（1）AB∥DCDC平面EFCD, AB到面EFCD,的距離等于點A到面EFCD,的距離，過點A作于G，因AB∥DC，故CDAD；又FA平面ABCD，由三垂線定理可知，CDFD，故CDFAD，知CDAG，所以AG為所求直線AB到面EFCD,的距離

在中，

由平面ABCD，得FAAD，從而在中，

。即直線AB到平面EFCD,的距離為。

（2）由己知，F(xiàn)A平面ABCD，得FAAD，又由，知DAAB，故AD平面ABFE

DAAE，所以，為二面角F-AD-E的平面角，記為.

在中, ,由ABCD得,,從而

在中,   ,故

所以二面角的平面角的正切值為.

解法二:

（1）如圖以A點為坐標(biāo)原點,的方向為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù),則

A(0,0,0)  C(2,2,0)  D(0,2,0)  設(shè)可得,由.即,解得  ∥，

面,所以直線AB到面的距離等于點A到面的距離。設(shè)A點在平面上的射影點為,則 因且,而

,此即   解得�、佟�,知G點在面上,故G點在FD上.

,故有  ②   聯(lián)立①,②解得, [

為直線AB到面的距離.  而   所以

(2)因四邊形為平行四邊形,則可設(shè), .由

得,解得.即.故

由,因,,故為二面角的平面角，又,,,所以