Question

已知,
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）若在處有極值，求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使在區(qū)間的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）  （Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）求曲線在一點(diǎn)處的切線方程，一要抓切點(diǎn)（1,2），一要抓導(dǎo)數(shù)的幾何意義即切線的斜率，便求出切線方程；（Ⅱ）先利用極值求出系數(shù)，再利用及定義域，求出單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)求某區(qū)間上的最值,要綜合應(yīng)用極值、單調(diào)性進(jìn)行判定求解,特別對(duì)的形式、的根進(jìn)行分類討論.多見(jiàn)于單調(diào)函數(shù)、單峰（谷）函數(shù).
試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022212508550.png" style="vertical-align:middle;" />， 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022212071665.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
當(dāng)時(shí)，，，所以，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.       3分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022212118447.png" style="vertical-align:middle;" />在處有極值，所以， 由（Ⅰ）知，所以
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)在處有極值．                        4分
所以，令,解得或；
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022212118447.png" style="vertical-align:middle;" />的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022212508550.png" style="vertical-align:middle;" />，所以的解集為，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為.                       6分
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使在區(qū)間上有最小值3，由，
① 當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞減，
，解得，舍去.              8分
②當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，解得，滿足條件.         10分
③ 當(dāng)即時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，，解得，舍去.
綜上，存在實(shí)數(shù)，使在區(qū)間上的最小值是3.      12分