Question

已知函數(shù)處的切線方程為x-y-1=0．
（I）求f（x）的解析式；
（II）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx，證明：g（x）≥f（x）對x∈[1，+∞）恒成立．

Answer 1

（Ⅰ）解：將x=1代入切線方程x-y-1=0，得y=0，∴f（1）=0．
又，化簡得a+b=0．
，．
解得a=2，b=-2，
∴．
（Ⅱ）證明：要證在[1，+∞）上恒成立，
即證（x²+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立，
即證x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．
設(shè)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，則．
∵x≥1，∴，即h'（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上x∈[1，+∞）單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在上恒成立．
分析：（Ⅰ）把切點(diǎn)代入切線方程可得a+b=0，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f^′（1）=1，又得到關(guān)于a、b的方程，聯(lián)立解出即可．
（Ⅱ）把要證在[1，+∞）上恒成立，等價轉(zhuǎn)化為即證x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2的最小值大于0即可．
點(diǎn)評：掌握利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率及求函數(shù)的單調(diào)性是解題關(guān)鍵，必須熟練解出，并學(xué)會將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．