已知AB是拋物線x2＝2py(p＞0)的任一弦，F為拋物線的焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線．m為過(guò)A點(diǎn)且以為方向向量的直線．

(1)若過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線與y軸相交于C點(diǎn)，求證：|AF|＝|CF|；

(2)若(A、B異于原點(diǎn))，直線OB與m相交于點(diǎn)M，試求點(diǎn)M的軌跡方程；

(3)若AB為焦點(diǎn)弦，分別過(guò)A、B點(diǎn)的拋物線的兩條切線相交于點(diǎn)T，求證：AT⊥BT，且T點(diǎn)在l上．

答案：
解析：

　　(1)如圖所示，設(shè)，易知點(diǎn)即為切點(diǎn)．

　　∵，∴，于是的方程為：，即：，令，得即由拋物線的定義可知，．

　　又∴．　　4分;

　　(2)設(shè)∵·，∴，∴，．直線的方程：　　①　　6分

　　直線m的方程：　　　　　�、冢佟立�，得，∴

　　∵，∴，∴點(diǎn)的軌跡方程為．　　8分;

　　(3)設(shè)，易知、為切點(diǎn)，則

　　由于是焦點(diǎn)弦，可設(shè)的方程為：，代入，得：，

　　∴，∴，∴．　　10分

　　由(1)知，的方程：，

　　∴，即：．又∵過(guò)焦點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)在準(zhǔn)線l上．　　12分


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點(diǎn)弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，則有x1x2=
a2
16
a2
16
，y1y2=
-
a2
4
-
a2
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點(diǎn)弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，則|AB|=
a
sin2θ
a
sin2θ
（θ為直線AB的傾斜角）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點(diǎn)弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，則有S△AOB=
a2
8sinθ
a2
8sinθ
（θ為直線AB的傾斜角）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知AB是拋物線x2=2py(p＞0)的任一弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線，m為過(guò)A點(diǎn)且以v=(0,-1)為方向向量的直線.

(1)若過(guò)A點(diǎn)的拋物線的切線與y軸相交于C點(diǎn)，求證：|AF|=|CF|；

(2)若·+p2=0(A、B異于原點(diǎn))，直線OB與m相交于點(diǎn)P，試求P點(diǎn)的軌跡方程；

(3)若AB為焦點(diǎn)弦，分別過(guò)A、B點(diǎn)的拋物線的兩條切線相交于點(diǎn)T，求證：AT⊥BT，且T點(diǎn)在l上.

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