（2007•煙臺三模）已知向量
a
=（1，1），向量
b
與向量
a
的夾角為
3
4
π，且
a
•
b
=-1．
（1）求向量
b
；
（2）若向量
b
與
q
=（1，0）的夾角為
π
2
，向量
p
=（cosA，2cos2
C
2
），其中A，C為△ABC的內(nèi)角，且A+C=
2
3
π，求|
b
+
p
|的最小值．
分析：（1）設
b
=（x，y），由
a
•
b
=-1，可得x+y=-1．再由
a
•
b
=|
a
||
b
|cos
3π
4
，化簡可得 x2+y2=1，求得x、y的值，可得
b
的值．
（2）由條件可得
b
=（0，-1），又因為
b
+
q
=（cosA，cosC），求得|
b
+
q
|2=1+
1
2
cos（2A+
π
3
）．結(jié)合A的范圍，可得|
b
+
p
|取得最小值．
解答：解：（1）設
b
=（x，y），
a
•
b
=-1，可得x+y=-1．  ①…（2分）
又
b
與
a
的夾角為
3π
4
，所以
a
•
b
=|
a
||
b
|cos
3π
4
，化簡可得 x2+y2=1． ②
由①②解得
x=-1
y=0
，或
x=0
y=-1
，
故
b
=（-1，0），或
b
=（-1，0）．…（6分）
（2）由向量
b
與
q
垂直知
b
=（0，-1），由 A+C=
2π
3
可得 0＜A＜
2π
3
．…（8分）
又因為
b
+
q
=（cosA，2cos2
C
2
-1）=（cosA，cosC），
所以|
b
+
q
|2=cos2A+cos2C=
1+cos2A
2
+
1+cos2C
2
=1+
1
2
[cos2A+cos（
4π
3
-2A）]
=1+
1
4
cos2A-
3
4
sin2A=1+
1
2
cos（2A+
π
3
）．
再由
π
3
＜A+
π
3
＜
5π
3
，可得當A+
π
3
=π時，|
b
+
p
|取得最小值為
1-
1
2
=
2
2
．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，屬于中檔題．
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1
2
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