Question

已知函數(shù),其中.

（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求的取值范圍；

（3）已知,如果存在,使得函數(shù)在處取得最小值,試求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2） （3）

【解析】

試題分析：（1） 利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,關(guān)鍵在于理解切點(diǎn)的三個(gè)含義,一是在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率,二是切點(diǎn)在曲線上,即切點(diǎn)坐標(biāo)滿足曲線方程,三是切點(diǎn)在直線上,即切點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線方程,有時(shí)這一條件用直線兩點(diǎn)間斜率公式表示.因?yàn)?/span>所以,再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程. （2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,往往轉(zhuǎn)化為研究導(dǎo)函數(shù)為零時(shí)方程根的情況,本題函數(shù)在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),就轉(zhuǎn)化為在區(qū)間(1,2)上有不相等的根,可由實(shí)根分布列充要條件,也可利用變量分離結(jié)合圖象求函數(shù)對(duì)應(yīng)區(qū)域范圍,（3）已知函數(shù)最值求參數(shù)取值范圍，可從恒成立角度出發(fā)，實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化，也可分類討論求最值列等式.本題采取對(duì)恒成立較好.轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立可從四個(gè)方面研究：一是開口方向，二是對(duì)稱軸，三是判別式，四是區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).

試題解析：（1）解:當(dāng)時(shí),,則,故 2分

又切點(diǎn)為,故所求切線方程為,即 4分

（2）由題意知,在區(qū)間(1,2)上有不重復(fù)的零點(diǎn),

由,得,因?yàn)?/span>,所以 7分令,則,故在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù),所以其值域?yàn)?/span>,從而的取值范圍是 9分

（3）,

由題意知對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立,即 ①對(duì)恒成立 11分

當(dāng)時(shí),①式顯然成立;

當(dāng)時(shí),①式可化為 ②,

令,則其圖象是開口向下的拋物線,所以 13分

即,其等價(jià)于 ③ ,

因?yàn)棰墼?/span>時(shí)有解,所以,解得,

從而的最大值為 16分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，不等式恒成立.