Question

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AB=1，AD=2，F(xiàn)為CD的中點且AF∥平面BCE．
（I） 求線段DE的長；
（II） 求直線BF和平面BCE所成角的正切值．

Answer 1

解：（I） 取CE的中點G，連FG、BG．
∵F為CD的中點，
∴GF∥DE且GF=DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB，
∴A，B，G，F(xiàn)四點共面．
又AF∥平面BCE，面ABGF∩面BCE=BG，
∴AF∥BG，∴四邊形GFAB為平行四邊形，
∴GF=AB．
∴DE=2AB=2．
（II）∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE
在平面CDE內(nèi)，過F作FH⊥CE于H，連BH．
∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE．
∴∠FBH為BF和平面BCE所成的角．
在直角△BFH中，．，，
∴．
∴直線BF和平面BCE所成角的正切值為．
分析：（I）取CE的中點G，連FG、BG．先利用平行公理和平面基本性質公里證明A，B，G，F(xiàn)四點共面．再利用線面平行的性質定理證明四邊形GFAB為平行四邊形，最后證得DE=2AB=2；
（II）先利用面面垂直的判定定理，由BG⊥平面CDE，證明平面BCE⊥平面CDE，再由面面垂直的性質定理，過F作FH⊥CE于H，連BH，則∠FBH為BF和平面BCE所成的角，最后在直角三角形BFH中計算此角即可
點評：本題主要考查了線面垂直的判定和性質定理，面面垂直的判定和性質定理，平面的基本性質公理及平行公理，直線與平面所成的角的作法、證法、求法，將空間問題轉化為平面問題的思想方法