Question

如圖，用一塊形狀為半橢圓x2+

y2

4

=1（y≥0）的鐵皮截取一個(gè)以短軸BC為底的等腰梯形ABCD，記所得等腰梯形的面積為S，則S的最大值是

3 3

2

．

Answer 1

分析：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）（x＞0），由點(diǎn)D在橢圓上知x2+

y2

4

=1（y≥0），得y²=4（1-x²），用x，y表示出等腰梯形ABCD的面積為S=

1

2

（|AD|+|BC|）|y|=

1

2

（2x+2）•y=（x+1）•y，將y²=4（1-x²）代入得S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1），利用導(dǎo)數(shù)求此函數(shù)的最值

解答：解：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）（x＞0），由點(diǎn)D在橢圓上知x2+

y2

4

=1（y≥0），得y²=4（1-x²）
∴等腰梯形ABCD的面積為S=

1

2

（|AD|+|BC|）|y|=

1

2

（2x+2）•y=（x+1）•y（2分）
∴S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1）=-4x⁴-8x³+8x+4（0＜x＜1）
（S²）'=4（-4x³-6x²+2），
令（S²）'=0，得2x³+3x²-1=0，即（x+1）²（2x-1）=0，
∵0＜x＜1，
∴x=

1

2

，
又當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，（S²）'＞0；當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，（S²）'＜0，
∴在區(qū)間（0，1）上，S²有唯一的極大值點(diǎn)x=

1

2

，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，S²有最大值為

27

4

；
即當(dāng)x=

1

2

時(shí)，S有最大值為

3 3

2

故答案為：

3 3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的方程消元，將面積表示成x的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的最值，此題運(yùn)算量很大，解題時(shí)極易因運(yùn)算出錯(cuò)，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真．