Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2+bx(a，b∈R)在x=-1時(shí)取得極值．
（1）試用含a的代數(shù)式表示b；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）=x²+2ax+b，因?yàn)楹瘮?shù)在x=-1時(shí)取得極值，所以f′（-1）=0，即可得到a與b的關(guān)系式，表示出b即可；
（2）為函數(shù)f（x）存在極值點(diǎn)，所以方程f′（x）=0有兩不相等的兩實(shí)根，把b代入求出兩根，根據(jù)兩根的大小得到a的取值范圍，①當(dāng)x₁＞x₂，即a＞1時(shí)和②當(dāng)x₁＜x₂，即a＜1時(shí)，來討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）依題意，得f′（x）=x²+2ax+b，由于x=-1為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，
則f′（-1）=1-2a+b=0，得b=2a-1；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）存在極值點(diǎn)，所以方程f′（x）=0有兩不相等的兩實(shí)根，
由（1）得f′（x）=x²+2ax+b=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1），
令f′（x）=0，解得x₁=-1或x₂=1-2a，
①當(dāng)x₁＞x₂，即a＞1時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1-2a，-1）；
②當(dāng)x₁＜x₂，即a＜1時(shí)，
同理可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1-2a）．
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1-2a，-1）；
當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，1-2a）

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生理解函數(shù)取極值的條件，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性．