Question

已知函數(shù)f（x）=axlnx圖象上點（e，f（e））處的切線與直線y=2x平行．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅲ）討論關(guān)于x的方程f（x）-m=0（m∈R）解的個數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點（e，f（e））處的切線方程與直線2x-y=0平行，得該切線斜率為2，由此能求出f（x）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f'（x）=lnx+1，由此能求出函數(shù)f（x）的最小值．
（Ⅲ）當(dāng)x∈(0，

1

e

)時，f（x）單調(diào)遞減且f（x）的取值范圍是(-

1

e

，0)；當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)時，f（x）單調(diào)遞增且f（x）的取值范圍是(-

1

e

，+∞)，由此進行分類討論，能求出方程f（x）-m=0（m∈R）的解的個數(shù)．

解答：（本小題13分）
解：（Ⅰ）由點（e，f（e））處的切線方程與直線2x-y=0平行，
得該切線斜率為2，即f'（e）=2．
又∵f'（x）=a（lnx+1），令a（lne+1）=2，a=1，
所以f（x）=xlnx．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f'（x）=lnx+1，
當(dāng)x∈(0，

1

e

)時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）的最小值為f(

1

e

)=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

．…（8分）
（Ⅲ）當(dāng)x∈(0，

1

e

)時，f（x）單調(diào)遞減且f（x）的取值范圍是(-

1

e

，0)；
當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)時，f（x）單調(diào)遞增且f（x）的取值范圍是(-

1

e

，+∞)
下面討論方程f（x）-m=0（m∈R）的解
當(dāng)m＜-

1

e

時，原方程無解；
當(dāng)m=-

1

e

或m≥0時，原方程有唯一解
當(dāng)-

1

e

＜m＜0，原方程有兩解．…（13分）

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的極小值的求法，考查方程的解的個數(shù)的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．