Question

17．己知函數(shù)f（x）滿足2^x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，設(shè)g（x）=f（1-x），則正確的結(jié)論是（　�。�

• A． g（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)
• B． 若g（x₁）+g（x₂）＞0，則x₁+x₂＞2
• C． 存在x₀，使g（x₀）=2成立
• D． 對任意x∈R，g（x）+g（2-x）=0恒成立

Answer 1

分析 先分析函數(shù)f（x）的圖象和性質(zhì)，進(jìn)而由g（x）=f（1-x），可得函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，進(jìn)而得到函數(shù)g（x）的圖象和性質(zhì)，逐一分析可得答案．

解答 解：∵2^x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，
又∵f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{{1-2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
若f（x₁）+f（x₂）＞0，則x₁+x₂＞0，
函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1），
又∵g（x）=f（1-x），
故函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，
∴g（x）在R上是單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；
若g（x₁）+g（x₂）＞0，則x₁+x₂＜2，故B錯(cuò)誤；
函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1），故不存在x₀，使g（x₀）=2成立，故C錯(cuò)誤，
函數(shù)圖象關(guān)于（1，0）點(diǎn)對稱，故對任意x∈R，g（x）+g（2-x）=0恒成立，故D正確；
故選：D

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知令x，y等于適合的值，進(jìn)而“湊”出要解答或證明的結(jié)論，是解答的關(guān)鍵．