Question

(1)在(2x²+x+1)¹⁰的展開式中,按x的降冪排列,求含x奇次項的系數(shù)之和.

(2)在(5x-2y)¹⁰的展開式中:①求所有奇數(shù)項系數(shù)之和;②求所有偶數(shù)項系數(shù)之和;③求所有項系數(shù)之和;④求所有項系數(shù)絕對值之和.

Answer 1

解析：(1)設(shè)含x奇次項的系數(shù)之和為A,偶次項系數(shù)之和為B,?

令x=1,得A+B=4¹⁰,              ①?

令x=-1,得B-A=2¹⁰.             ②?

由①②可得A=2¹⁹-2⁹=523 776.?

(2)設(shè)所有奇數(shù)項系數(shù)之和為M,所有偶數(shù)項系數(shù)之和為N,那么,?

令x=1,y=1得M+N=3¹⁰;?

令x=1,y=-1,得M-N=7¹⁰.?

由此得M=(3¹⁰+7¹⁰),N= (3¹⁰-7¹⁰).

答案：(1)523 776;(2)①所有奇數(shù)項系數(shù)之和為 (3¹⁰+7¹⁰);②所有偶數(shù)項系數(shù)之和為 (3¹⁰-7¹⁰);③所有項系數(shù)之和為3¹⁰;④所有項系數(shù)絕對值之和為7¹⁰.