Question

設(shè)⊙C_n：（x-a_n）²+（y-n）²=5n²，且⊙C_n與⊙C_n-1內(nèi)切，數(shù)列{a_n}是正項數(shù)列，且首項a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的概念及簡單表示法,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于⊙C_n與⊙C_n-1內(nèi)切，可得

(an-an-1)2+1

=

5n2

-

5(n-1)2

=

5

，由已知化為a_n-a_n-1=2，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵⊙C_n與⊙C_n-1內(nèi)切，
∴

(an-an-1)2+1

=

5n2

-

5(n-1)2

=

5

，
∵數(shù)列{a_n}是正項數(shù)列，且首項a₁=1．
∴a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、兩圓相切的性質(zhì)、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．