Question

已知函數，函數．

⑴當時，函數的圖象與函數的圖象有公共點，求實數的最大值；

⑵當時，試判斷函數的圖象與函數的圖象的公共點的個數；

⑶函數的圖象能否恒在函數的圖象的上方？若能，求出的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

⑴,

由一次函數與對數函數圖象可知兩圖象相切時取最大值，                  ……1分

設切點橫坐標為，，

, 即實數的最大值為；             ……4分

  ⑵，

    即原題等價于直線與函數的圖象的公共點的個數，         ……5分

，

在遞增且，在遞減且，

時，無公共點，

時，有一個公共點，

時，有兩個公共點；                                       ……9分

  ⑶函數的圖象恒在函數的圖象的上方，

    即在時恒成立，                                     ……10分

①時圖象開口向下，即在時不可能恒成立，

②時，由⑴可得，

時恒成立，時不成立，

③時，

若則，由⑵可得無最小值，故不可能恒成立，

    若則，故恒成立，

    若則，故恒成立，              ……15分

綜上，或時

函數的圖象恒在函數的圖象的上方．