Question

給定有限個正數(shù)滿足條件T：每個數(shù)都不大于50且總和L=1275。現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是：
首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差r₁與所有可能的其他選擇相比是最小的，r₁稱為第一組余差；
然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時的余差為r₂；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為r₃）、第四組（余差為r₄）、……，直至第N組（余差為r_N）把這些數(shù)全部分完為止。
（Ⅰ）判斷r₁，r₂，…，r_N的大小關(guān)系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)構(gòu)成第n（n＜N）組后，指出余下的每個數(shù)與r_n的大小關(guān)系，并證明；
（Ⅲ）對任何滿足條件T的有限個正數(shù)，證明：N≤11。

Answer 1

解：（Ⅰ）。
除第N組外的每組至少含有個數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)?shù)趎組形成后，因為n＜N，所以還有數(shù)沒分完，這時余下的每個數(shù)必大于余差r_n，
余下數(shù)之和也大于第n組的余差r_n，
即，
由此可得，
因為，
所以；
（Ⅲ）用反證法證明結(jié)論，假設(shè)N＞11，即第11組形成后，還有數(shù)沒分完，由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知，余下的每個數(shù)都大于第11組的余差r₁₁，且，
故余下的每個數(shù)， （*）
因為第11組數(shù)中至少含有3個數(shù)，所以第11組數(shù)之和大于，
此時第11組的余差，
這與（*）式中矛盾，
所以N≤11。