Question

9．若函數(shù)f（x）=ax³+x在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，則（　　）

• A． a≤0
• B． $a≤-\frac{1}{3}$
• C． a≥0
• D． $a≥-\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤-$\frac{1}{{3x}^{2}}$在[1，+∞）恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：若函數(shù)f（x）=ax³+x在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
則f′（x）=3ax²+1≤0在[1，+∞）恒成立，
即a≤-$\frac{1}{{3x}^{2}}$在[1，+∞）恒成立，
而y=-$\frac{1}{{3x}^{2}}$在[1，+∞）遞增，
故x=1時(shí)，y的最小值是-$\frac{1}{3}$，
故a≤-$\frac{1}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．