Question

（本小題滿分12分）如圖,在四棱錐中,底面ABCD為直角梯形,,,平面⊥底面,為的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),，，

（Ⅰ）若是棱的中點(diǎn),求證:；

（Ⅱ）求證:若二面角M-BQ-C為30°,試求的值。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析，（Ⅱ）

【解析】

試題分析：根據(jù)線面平行的判定定理，只需尋求線線平行，由于點(diǎn)是棱的中點(diǎn),可以考慮利用中位線定理，連接交于,可以證明為為中位線，則，從而得出線面平行；第二步建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，由于平面的法向量為，再求出平面的法向量，最后利用二面角為，得出等量關(guān)系，求出的值即可.

試題解析：證明:（Ⅰ）連接，交于,連接，且，即，
∴四邊形為平行四邊形,且為中點(diǎn), 又因為點(diǎn)是棱的中點(diǎn), ，因為
平面，平面，則；
（Ⅱ）因為 為的中點(diǎn), 則.∵平面平面,且平面平面, ∴平面,∵,為的中點(diǎn), ∴四邊形為平行四邊形,∴, ∵, ∴,即．
如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．

則平面BQC的法向量為; 由于,,,
則,，設(shè), 在平面中,，

, ∴ 平面法向量為 ∵二面角為, ,∴ （舍）， ∴

考點(diǎn)：1.直線與平面平行的判定定理；2.用法向量求二面角；