Question

12．在凸四邊形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=5，AD=4，求凸四邊形面積最大值．

Answer 1

分析 連接AC，如圖所示，在三角形ABC和三角形ADC中，分別利用余弦定理列出關(guān)系式，整理得到15cosD-8cosB=7；利用三角形面積公式表示出S，整理得到8sinB+15sinD=2S，兩關(guān)系式聯(lián)立表示出S²，利用余弦函數(shù)的值域確定出S最大值即可．

解答 解：連接AC，設(shè)AC=x，
在△ABC中，由余弦定理得：x²=2²+4²-2×2×4cosB=20-16cosB①，
在△ADC中，由余弦定理得：x²=3²+5²-2×3×5cosD=34-30cosD②，
由①②得：15cosD-8cosB=7③，
四邊形ABCD面積S=$\frac{1}{2}$×2×4sinB+$\frac{1}{2}$×3×5sinD=$\frac{1}{2}$（8sinB+15sinD），
整理得：8sinB+15sinD=2S④，
將③④兩式平方相加得：64+225+240（sinBsinD-cosBcosD）=49+4S²，
整理得：S²=60-60cos（B+D），
∵-1≤cos（B+D）≤1，即0＜S²≤120，
當(dāng)cos（B+D）=-1，即B+D=π時(shí)，（S²）_max=120，即S_max=2$\sqrt{30}$，
則S的最大值為2$\sqrt{30}$．

點(diǎn)評 此題考查了余弦定理，余弦函數(shù)的值域，以及三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．