【題目】已知函數(shù) ,a為正常數(shù).
(1)若f(x)=lnx+φ(x),且 ,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若g(x)=|lnx|+φ(x),且對任意x1 , x2∈(0,2],x1≠x2 , 都有 ,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解: ,

,令f′(x)>0,得x>2,或 ,

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 ,(2,+∞)


(2)解:∵

,

,

設(shè)h(x)=g(x)+x,依題意,h(x)在(0,2]上是減函數(shù).

當(dāng)1≤x≤2時, ,

令h′(x)≤0,得: 對x∈[1,2]恒成立,

設(shè) ,則 ,

∵1≤x≤2,∴ ,

∴m(x)在[1,2]上遞增,則當(dāng)x=2時,m(x)有最大值為 ,

當(dāng)0<x<1時, , ,

令h′(x)≤0,得:

設(shè) ,則 ,

∴t(x)在(0,1)上是增函數(shù),

∴t(x)<t(1)=0,

∴a≥0.

綜上所述,


【解析】(1)先對函數(shù)y=f(x)進(jìn)行求導(dǎo),然后令導(dǎo)函數(shù)大于0(或小于0)求出x的范圍,根據(jù)f′(x)>0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間,f′(x)<0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間,即可得到答案.(2)設(shè)h(x)=g(x)+x,依題意得出h(x)在(0,2]上是減函數(shù).下面對x分類討論:①當(dāng)1≤x≤2時,②當(dāng)0<x<1時,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從及最值,即可求得求a的取值范圍.
【考點精析】關(guān)于本題考查的導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解通過圖像,我們可以看出當(dāng)點趨近于時,直線與曲線相切.容易知道,割線的斜率是,當(dāng)點趨近于時,函數(shù)處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k,即;一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.

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(2)若g(x)=|lnx|+φ(x),且對任意x1 , x2∈(0,2],x1≠x2 , 都有 ,求a的取值范圍.

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