Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+n，數(shù)列{b_n}有b₁=2，b_n=2b_n-1（n≥2）
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項；
（2）若c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的通項公式及前n項和Tn．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2，適合上式，
所以a_n=2n，（n∈N^*），
由b_n=2b_n-1（n≥2）及b₁=2知，數(shù)列{b_n}各項均不為0，且數(shù)列{b_n}為以2為公比的等比數(shù)列，
則b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
所以a_n=2n，b_n=2ⁿ；
（2）由（1）知c_n=a_nb_n=2n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹，
所以c_n=n•2ⁿ⁺¹，
則T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹①，
2T_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²②，
①-②得，-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=-n•2ⁿ⁺²，
所以T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．
分析：（1）按照a_n與S_n的關(guān)系式：即可求得a_n，注意驗證n=1的情況；先判斷{b_n}為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求得b_n；
（2）由（1）易求c_n，利用錯位相減法即可求得{c_n}的前n項和Tn．
點評：本題考查等差等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和，考查錯位相減法對數(shù)列求和，注意掌握該類數(shù)列的特征．