Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3x}{a}$-2x²+lnx（a∈R且a≠0）
（1）當a=3時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)遞增或遞減函數(shù)，即f′（x）≥（≤）0在區(qū)間[1，2]上恒成立，然后用分離參數(shù)求最值即可．

解答 解：（1）當a=3時，f（x）=x-2x²+lnx的導數(shù)為f′（x）=1-4x+$\frac{1}{x}$，
在點（1，f（1））處的切線斜率為k=1-4+1=-2，
切點為（1，-1），
即有在點（1，f（1））處的切線方程為y+1=-2（x-1），即為2x+y-1=0；
（2）f′（x）=$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)增函數(shù)，
則x∈[1，2]時，f′（x）≥0恒成立．
即 $\frac{3}{a}$≥4x-$\frac{1}{x}$在[1，2]恒成立，
令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，因函數(shù)h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
所以$\frac{3}{a}$≥h（2），即$\frac{3}{a}$≥$\frac{15}{2}$，
解得0＜a≤$\frac{2}{5}$①
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)減函數(shù)，
則x∈[1，2]時，f′（x）≤0恒成立．
即 $\frac{3}{a}$≤4x-$\frac{1}{x}$在[1，2]恒成立，
令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，因函數(shù)h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
所以$\frac{3}{a}$≤h（1），即$\frac{3}{a}$≤3，
解得a≥1或a＜0．②
綜上可得實數(shù)a的取值范圍是a≥1或a≤$\frac{2}{5}$且a≠0．

點評 本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程和已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍，此類問題一般用導數(shù)解決，注意運用恒成立思想，綜合性較強．