Question

若點（x，y）滿足x²+y²-6x-4y+12=0，求
（1）x²+y²的取值范圍；
（2）

y

x

的取值范圍；
（3）x+y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，x²+y²表示點（x，y）與原點距離的平方，可求x²+y²的取值范圍；
（2）設(shè)k=

y

x

，則y=kx，即kx-y=0，利用圓心到直線的距離公式，可求

y

x

的取值范圍；
（3）設(shè)t=x+y，即x+y-t=0，利用圓心到直線的距離公式，可求x+y的取值范圍．

解答：解：（1）x²+y²-6x-4y+12=0可化為（x-3）²+（y-2）²=1，
∵x²+y²表示點（x，y）與原點距離的平方，
∴x²+y²的最大值為(

32+22

+1)2=14+2

13

；
x²+y²的最小值為(

32+22

-1)2=14-2

13

，
∴x²+y²的取值范圍是[4-2

13

，14+2

13

]；
（2）設(shè)k=

y

x

，則y=kx，即kx-y=0，
∴圓心到直線的距離為

|3k-2|

k2+1

≤1，解得

3- 3

4

≤k≤

3+ 3

4

，
∴

y

x

的取值范圍為[

3- 3

4

，

3+ 3

4

]；
（3）設(shè)t=x+y，即x+y-t=0，
∴圓心到直線的距離為

|3+2-t|

2

≤1，解得5-

2

≤t≤5+

2

，
∴x+y的取值范圍為[5-

2

，5+

2

]．

點評：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點到直線距離公式的運用，考查學(xué)生的計算能力，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．