Question

求證：是無理數(shù)．

Answer 1

證明：假設(shè)是有理數(shù)，不妨設(shè)=（p，q是互質(zhì)的正整數(shù)）．
則?q²=2p²，故2必是q的因數(shù)．
于是可設(shè)q=2m（m為正整數(shù)），則2p²=4m²，即p²=2m²，故2又是p的因數(shù)．
因此p，q有公因數(shù)2，這與p，q是互質(zhì)的正整數(shù)相矛盾．
這說明假設(shè)是有理數(shù)不成立，故是無理數(shù)．
分析：利用反證法，假設(shè)是有理數(shù)，不妨設(shè)=（p，q是互質(zhì)的正整數(shù)）．可得2必是q的因數(shù)，所以可設(shè)q=2m（m為正整數(shù)），從而可知2又是p的因數(shù)，因此p，q有公因數(shù)2，這與p，q是互質(zhì)的正整數(shù)相矛盾．從而問題得證．
點評：本題的考點是反證法，主要考查反證法的運用，解題的關(guān)鍵是利用反證法的證題步驟：反設(shè)，歸謬，引出矛盾，從而下結(jié)論．