如圖,已知點(diǎn)P在圓柱OO1的底面圓O上,AB為圓O的直徑,圓柱OO1的表面積為24π,OA=2,∠AOP=120°.
(1)求三棱錐A1-APB的體積.
(2)求異面直線A1B與OP所成角的大;(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

【答案】分析:(1)由題意圓柱OO1的表面積為24π,OA=2,∠AOP=120°建立關(guān)于圓柱高的方程求出AA1=4,即得棱錐的高,再由,∠AOP=120°解出解出AP,進(jìn)而解出BP,即可解出底面積,再棱錐的體積公式求體積即可;
(2)取AA1中點(diǎn)Q,連接OQ,PQ,可證得∠POQ或它的補(bǔ)角為異面直線A1B與OP所成的角,在三角形POQ中求異面直線所成的角即可.
解答:解:(1)由題意S=2π•22+2π•2•AA1=24π,
解得AA1=4.(2分)
在△AOP中,OA=OP=2,∠AOP=120°,
所以(3分)
在△BOP中,OB=OP=2,∠BOP=60°,
所以BP=2(4分)
(5分)
=(6分)
(2)取AA1中點(diǎn)Q,連接OQ,PQ,則OQ∥A1B,
得∠POQ或它的補(bǔ)角為異面直線A1B與OP所成的角.(8分)
,AQ=AO=2,得,PQ=4,(10分)
由余弦定理得,(12分)
得異面直線A1B與OP所成的角為.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了求三棱錐的體積與求兩異面直線所成的角,在圓柱這一背景下,考查這兩個(gè)問題方式比較新穎,解答本題關(guān)鍵是正確理解這些幾何圖形之間的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知點(diǎn)P在圓柱OO1的底面圓O上,AB、A1B1分別為圓O、圓O1的直徑且A1A⊥平面PAB.
(1)求證:BP⊥A1P;
(2)若圓柱OO1的體積V=12π,OA=2,∠AOP=120°,求三棱錐A1-APB的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知點(diǎn)P在圓柱OO1的底面圓O上,AB為圓O的直徑,圓柱OO1的表面積為20π,OA=2,∠AOP=120°.
(1)求異面直線A1B與AP所成角的大。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
(2)求點(diǎn)A到平面A1PB的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知點(diǎn)P在圓柱OO1的底面圓O上,AB為圓O的直徑,圓柱OO1的表面積為24π,OA=2,∠AOP=120°.
(1)求三棱錐A1-APB的體積.
(2)求異面直線A1B與OP所成角的大。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知點(diǎn)P在圓柱OO1的底面圓O上,AB為圓O的直徑,OA=2,∠AOP=120°,三棱錐A1-APB的體積為
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3
3

(1)求圓柱OO1的表面積;
(2)求異面直線A1B與OP所成角的大。  (結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知點(diǎn)P在圓柱OO1的底面圓O上,AB、A1B1分別為圓O、O1的直徑且A1A⊥平面PAB.
(Ⅰ)求證:平面A1PB⊥平面A1AP;
(Ⅱ)在三棱錐A1-APB的6條棱中,任取2條棱,求恰好能互相垂直的概率.

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