Question

已知點(diǎn)F₁、F₂為雙曲線C：x²-

y2

b2

=1的左、右焦點(diǎn)，過F₂作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點(diǎn)M，∠MF₁F₂=30°．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過雙曲線C上任意一點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P₁、P₂，求

PP1

•

PP2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)F₂，M的坐標(biāo)分別為(

1+b2

，0)，(

1+b2

，y0)，求出|MF₂|，Rt△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，求出|MF₁|，利用雙曲線的定義，即可求雙曲線C的方程；
（2）求出兩條漸近線方程，可得點(diǎn)Q到兩條漸近線的距離，設(shè)兩漸近線的夾角為θ，可得cosθ=

1

3

，利用向量的數(shù)量積公式，即可求

PP1

•

PP2

的值．

解答： 解：（1）設(shè)F₂，M的坐標(biāo)分別為(

1+b2

，0)，(

1+b2

，y0)，
因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線C上，所以1+b2-

y02

b2

=1，即y0=±b2，所以|MF2|=b2，
在Rt△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF2|=b2，所以|MF1|=2b2…（3分）
由雙曲線的定義可知：|MF1|-|MF2|=b2=2
故雙曲線C的方程為：x2-

y2

2

=1…（6分）
（2）由條件可知：兩條漸近線分別為l1：

2

x-y=0；l2：

2

x+y=0…（8分）
設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)Q（x₀，y₀），設(shè)兩漸近線的夾角為θ，
則點(diǎn)Q到兩條漸近線的距離分別為|PP1|=

| 2 x0-y0|

3

，|PP2|=

| 2 x0+y0|

3

，…（11分）
因?yàn)镼（x₀，y₀）在雙曲線C：x2-

y2

2

=1上，
所以2x02-y02=2，又cosθ=

1

3

，
所以

PP1

•

PP2

=

| 2 x0-y0|

3

•

| 2 x0+y0|

3

cosθ=

|2x02-y02|

3

•

1

3

=

2

9

…（14分）

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．