Question

20．設(shè)平面直角坐標系xOy中，曲線G：$y=\frac{x^2}{2}+\frac{a}{2}x-{a^2}（{x∈R}）$．
（1）若a≠0，曲線G的圖象與兩坐標軸有三個交點，求經(jīng)過這三個交點的圓C的一般方程；
（2）在（1）的條件下，求圓心C所在曲線的軌跡方程；
（3）若a=0，動圓圓心M在曲線G上運動，且動圓M過A（0，1），設(shè)EF是動圓M在x軸上截得的弦，當圓心M運動時弦長|EF|是否為定值？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，求經(jīng)過這三個交點的圓C的一般方程；
（2）由（1）可知圓心$C（{-\frac{a}{2}，\frac{{2-{a^2}}}{2}}）$，設(shè)圓心C（x，y），則有$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{a}{2}\\ y=\frac{{2-{a^2}}}{2}\end{array}\right.$消去a得到圓心C所在曲線的軌跡方程；
（3）利用勾股定理，計算，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令x=0，得拋物線與y軸交點是（0，-a²）；
令y=0，則$\frac{x^2}{2}+\frac{a}{2}x-{a^2}=0$，所以x²+ax-2a²=0，
得拋物線與x軸交點是（-2a，0），（a，0）．
設(shè)所求圓C的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
則有$\left\{\begin{array}{l}{a^4}-E{a^2}+F=0\\{a^2}+Da+F=0\\ 4{a^2}+2Da+F=0\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}D=a\\ E={a^2}-2\\ F=-2{a^2}\end{array}\right.$．
所以圓C的方程為x²+y²+ax+（a²-2）y-2a²=0．
（2）由（1）可知圓心$C（{-\frac{a}{2}，\frac{{2-{a^2}}}{2}}）$，
設(shè)圓心C（x，y），則有$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{a}{2}\\ y=\frac{{2-{a^2}}}{2}\end{array}\right.$消去a得到y(tǒng)=1-2x²
又a≠0，∴x≠0，所以圓心C所在曲線的軌跡方程為y=1-2x²（x≠0）．
（3）|EF|為定值2． 
證明如下：若a=0，曲線G：$y=\frac{x^2}{2}$，設(shè)M$（{{x_0}，\frac{x_0^2}{2}}）$，
則動圓半徑$r=|{MA}|=\sqrt{{{（{{x_0}-0}）}^2}+{{（{\frac{x_0^2}{2}-1}）}^2}}=\sqrt{\frac{x_0^2}{4}+1}$
則$|{EF}|=2\sqrt{{r^2}-{{（{\frac{x_0^2}{2}}）}^2}}=2\sqrt{\frac{x_0^2}{4}+1-\frac{x_0^2}{4}}=2$．

點評 本題考查圓的方程，考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．