Question

已知圓A的圓心為（

2

，0），半徑為1，雙曲線C的兩條漸近線都過原點(diǎn)，且與圓A相切，雙曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l過點(diǎn)A，斜率為k，當(dāng)0＜k＜1時(shí)，雙曲線C的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為

2

，試求k的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx，則可求得圓心到直線的距離求得k，進(jìn)而求得點(diǎn)A的關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)，求得雙曲線的a和b，雙曲線方程可得．
（2）依題意設(shè)B點(diǎn)在與l平行的直線l'上，且l與l'間的距離為

2

，設(shè)直線l'：y=kx+m，則可表示出B點(diǎn)到直線l的距離求得m與k的關(guān)系式，把l'代入雙曲線方程，根據(jù)判別式等于0求得m和k的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立求得m和k，進(jìn)而求得B點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx，則

| 2 k|

k2+1

=1，解得k=±1．即漸近線為y=±x．
又點(diǎn)A關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（0，

2

），
所以，a=b=

2

，雙曲線的方程為

y2

2

-

x2

2

=1．
（2）直線l：y=k（x-

2

），（0＜k＜1）．
依題意設(shè)B點(diǎn)在與l平行的直線l'上，且l與l'間的距離為

2

，設(shè)直線l'：y=kx+m，則

| 2 k+m|

k2+1

=

2

，即m²+2

2

km=2①
把l'代入雙曲線方程得：（k²-1）x²+2mkx+m²-2=0
∵0＜k＜1，∴k²-1≠0．∴△=4（m²+2k²-2）=0，即m²+2k²=2②
解①②，得m=

10

5

，k=

2 5

5

．
此時(shí)，x=2

2

，y=

10

，所以B（2

2

，

10

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．圓錐曲線與直線的關(guān)系歷來是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)加強(qiáng)復(fù)習(xí)．