Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ln（x+1）
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）圖象在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若a≤2，證明：當x≥0時，有f（x）≥ax+1．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，可得切線斜率，求出切點坐標，即可求出函數(shù)y=f（x）圖象在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當a≤2時，則2-a≥0，令g（x）=f（x）-ax-1，求導函數(shù)，則g′(x)=f′(x)-a=ex+

1

x+1

-a
令φ（x）=e^x-x-1，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x+ln（x+1），
∴f′(x)=ex+

1

x+1

，則f'（0）=2
又f（0）=e⁰+ln1=1
∴函數(shù)y=f（x）圖象在點（0，f（0））處的切線方程為：y-f（0）=f'（0）x，
即函數(shù)y=f（x）圖象在點（0，f（0））處的切線方程為y=2x+1；         …（6分）
（Ⅱ）證明：當a≤2時，則2-a≥0…①
令g（x）=f（x）-ax-1，
則g′(x)=f′(x)-a=ex+

1

x+1

-a
令φ（x）=e^x-x-1（x∈R），則φ'（x）=e^x-1（x∈R），
由φ'（x）=0，得x=0
當x≤0時，e^x≤1，即e^x-1≤0；當x＞0時，e^x＞1，即e^x-1＞0
∴函數(shù)φ（x）=e^x-x-1在（-∞，0]為減函數(shù)，在（0，+∞）為增函數(shù)
∴φ（x）_min=φ（0）=0，即φ（x）≥0
∴對?x∈R，都有e^x≥x+1
故當x≥0時，x+1＞0，ex+

1

x+1

≥x+1+

1

x+1

≥2

(x+1)• 1 x+1

=2
∴ex+

1

x+1

-a≥2-a≥0，
∴g'（x）≥0，
∴若a≤2，函數(shù)y=g（x），在[0，+∞）為增函數(shù)，
∴當x≥0時，g（x）≥g（0）=0
∴當a≤2時，x≥0，有f（x）≥ax+1成立．…（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，正確構造函數(shù)，利用函數(shù)的最值是關鍵．