Question

13．橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，直線x-y-1=0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與橢圓相交于A，B兩點，求弦長|AB|．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），求得直線與x，y軸的交點，可得b=c=1，由a，b，c 的關(guān)系可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由直線方程代入橢圓方程，可得交點A，B的坐標(biāo)，再由兩點的距離公式計算可得所求值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
直線x-y-1=0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，
即有焦點為（1，0），一個頂點為（0，-1），
即為c=1，b=1，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）直線x-y-1=0，代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
可得3x²-4x=0，解得x=0或x=$\frac{4}{3}$，
可設(shè)A（0，-1），B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
則|AB|=$\sqrt{（0-\frac{4}{3}）^{2}+（-1-\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的性質(zhì)，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，求得交點，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．