Question

過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)，作直線(xiàn)與此拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)P和Q，那么線(xiàn)段PQ中點(diǎn)的軌跡方程是

1. A.
   y²=2x-1
2. B.
   y²=2x-2
3. C.
   y²=-2x+1
4. D.
   y²=-2x+2

Answer 1

B
分析：設(shè)線(xiàn)段PQ所在的直線(xiàn)方程為 y-0=k（x-1），代入拋物線(xiàn)方程，利用一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系求出線(xiàn)段PQ中點(diǎn)坐標(biāo)
消去參數(shù) k，即得線(xiàn)段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．
解答：拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），當(dāng)線(xiàn)段PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)線(xiàn)段PQ所在的直線(xiàn)方程為 y-0=k（x-1），
代入拋物線(xiàn)y²=4x得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，∴x₁+x₂=．
設(shè)線(xiàn)段PQ中點(diǎn)H（ x，y ），則由中點(diǎn)公式得 x=，∴y=k（x-1）=，k=，
∴y²=2x-2．當(dāng)線(xiàn)段PQ的斜率存在時(shí)，線(xiàn)段PQ中點(diǎn)為焦點(diǎn)F（1，0），滿(mǎn)足此式，
故線(xiàn)段PQ中點(diǎn)的軌跡方程是 y²=2x-2，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求點(diǎn)的軌跡方程的方法，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，中點(diǎn)公式的應(yīng)用，利用一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系，中點(diǎn)公式求出線(xiàn)段PQ中點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．