Question

E、F分別是正方形ABCD的邊AB和CD的中點(diǎn)，EF交BD于O，以EF為棱將正方形折成直二面角，則∠BOD=

120°

．

Answer 1

分析：連接ED、BD并設(shè)翻折前正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，可得BO=DO=

2

，Rt△DEF中算出ED=

5

．根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到BE⊥平面AEFD，從而得到BE⊥ED．Rt△BED中，利用勾股定理算出BD=

6

，最后在△BOD中，由余弦定理得cos∠BOD即可

解答：解：設(shè)翻折前正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
連接ED、BD，則
∵平面AEFD⊥平面BCFE，平面AEFD∩平面BCFE=EF，BE⊥EF
∴BE⊥平面AEFD，結(jié)合DE?平面AEFD可得BE⊥ED
∵Rt△DEF中，EF=BC=2，DF=1
∴ED=

EF2+DF2

=

5

由此可得Rt△BED中，BD=

ED2+BE2

=

6

∵△BOD中，BO=DO=

2

，
∴由余弦定理，得cos∠BOD=

BO2+DO2-BD2

2×BO×DO

=

2+2-6

2× 2 × 2

=-

1

2

∵∠BOD是三角形內(nèi)角，∴∠BOD=120°
故答案為：120°

點(diǎn)評(píng)：本題以正方形的翻折為例，求翻折后BO、DO所成角大小，著重考查了線面垂直、面面垂直的性質(zhì)和余弦定理等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．