Question

在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．若曲線ρ=1和ρ=2cos(θ+

π

3

)交于A，B兩點，則|AB|=

3

．

Answer 1

分析：把兩個圓的極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心和半徑，求得公共弦所AB在的直線方程，再根據(jù)點到直線的距離公式，弦長公式，求得公共弦所AB的長度|AB|的值．

解答：解：曲線ρ=1即 ρ²=1，化為直角坐標方程為 x²+y²=1，表示以原點O（0，0）為圓心，半徑為1的圓．
曲線ρ=2cos(θ+

π

3

)，即ρ²=2ρcos（θ+

π

3

）=2ρ（

1

2

cosθ-

3

2

sinθ）=ρcosθ-

3

ρsinθ，
化為直角坐標方程為 x²+y²=x-

3

y，即 (x-

1

2

)2+(y+

3

2

)2=1，表示以M（

1

2

，-

3

2

）為圓心，
半徑等于1的圓．
把兩個圓的方程相減，可得公共弦所AB在的直線方程為 x-

3

y-1=0．
圓心O到公共弦所AB在的直線的距離d=

|0-0-1|

1+3

=

1

2

，
故公共弦所AB的長度|AB|=2

1-d2

=2

1- 1 4

=

3

，
故答案為

3

．

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，圓的標準方程的特征，直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于中檔題．