Question

5．給出以下四個(gè)命題：
（1）當(dāng)0＜α＜$\frac{π}{2}$時(shí)，sinα＜α＜tanα；
（2）當(dāng)π＜α＜$\frac{3π}{2}$時(shí)，sinα+cosα＜-1；
（3）已知A={x|x=nπ+（-1）ⁿ$\frac{π}{2}$，n∈Z}與B={x|x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}，則A=B；
（4）在斜△ABC中，則tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．
請(qǐng)?jiān)跈M線上填出所有正確命題的序號(hào)（1）（2）（3）（4）．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)線可判斷（1）；利用正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷（2）；根據(jù)軸線角的表示方法，可判斷（3）；根據(jù)兩角和的正切公式，可判斷（4）．

解答 解：在直角坐標(biāo)系中結(jié)合單位圓作出銳角α的正弦線和正切線，

由圖可知sinα=MP，α=$\widehat{AP}$，tanα=AT，
∵S_△AOP=$\frac{1}{2}$×MP×1=$\frac{1}{2}$sinα，S_扇形AOP=$\frac{1}{2}$×$\widehat{AP}$×1=$\frac{1}{2}$α，S_△AOT=$\frac{1}{2}$×AT×1=$\frac{1}{2}$tanα，S_△AOP＜S_扇形AOP＜S_△AOT，
∴MP＜$\widehat{AP}$＜AT，即sinα＜α＜tanα，
故（1）正確；
sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∵π＜α＜$\frac{3π}{2}$，
∴$\frac{5π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，
∴$-\sqrt{2}$＜$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）＜-1，
故（2）正確；
∵A={x|x=nπ+（-1）ⁿ$\frac{π}{2}$，n∈Z}表示終邊落在y軸非負(fù)半軸上的角，
B={x|x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}也表示終邊落在y軸非負(fù)半軸上的角，
∴A=B；
（4）在斜△ABC中，
tanA+tanB+tanC=tanA+tanB-tan（A+B）=tanA+tanB-$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$=（tanA+tanB）（1-$\frac{1}{1-tanA•tanB}$）=（tanA+tanB）$\frac{-tanA•tanB}{1-tanA•tanB}$=$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$•tanAtanB=tanAtanBtanC．
故（4）正確，
故正確命題的序號(hào)為：（1）（2）（3）（4），
故答案為：（1）（2）（3）（4）

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數(shù)線，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，軸線角，三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．