Question

1．若直線y=a與函數(shù)y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|的圖象恰有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． {$\frac{{e}^{2}}{3}$}
• B． （0，$\frac{{e}^{2}}{3}$）
• C． （$\frac{{e}^{2}}{3}$，e）
• D． （$\frac{1}{e}$，1）∪{$\frac{{e}^{2}}{3}$}

Answer 1

分析 先求得函數(shù)y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|的定義域為（0，+∞），再分段y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-lnx-1}{{x}^{3}}，x∈（0，{e}^{-1}）}\\{\frac{lnx+1}{{x}^{3}}，x∈[{e}^{-1}，+∞）}\end{array}\right.$，從而分別求導確定函數(shù)的單調(diào)性，從而解得．

解答 解：函數(shù)y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|的定義域為（0，+∞），
y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-lnx-1}{{x}^{3}}，x∈（0，{e}^{-1}）}\\{\frac{lnx+1}{{x}^{3}}，x∈[{e}^{-1}，+∞）}\end{array}\right.$，
當x∈（0，e^-1）時，y′=$\frac{3lnx+2}{{x}^{4}}$，
∵x∈（0，e^-1），∴l(xiāng)nx＜-1，
∴y′=$\frac{3lnx+2}{{x}^{4}}$＜0，
∴y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|在（0，e^-1）上是減函數(shù)；
當x∈（e^-1，+∞）時，y′=-$\frac{3lnx+2}{{x}^{4}}$，
∴當x∈（e^-1，${e}^{-\frac{2}{3}}$）時，∴y′＞0，
當x∈（${e}^{-\frac{2}{3}}$，+∞）時，∴y′＜0，
∴y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|在（e^-1，${e}^{-\frac{2}{3}}$）上是增函數(shù)，
在（${e}^{-\frac{2}{3}}$，+∞）上是減函數(shù)；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|=+∞，f（e^-1）=0，
f（${e}^{-\frac{2}{3}}$）=$\frac{{e}^{2}}{3}$，$\underset{lim}{x→+∞}$|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|=0，
故實數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{{e}^{2}}{3}$），
故選B．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及分段函數(shù)的應用．