Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=2，M為AB的中點(diǎn)．求：
（Ⅰ） 異面直線CM與PD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）直線PD與平面PMC成角的正弦值．

Answer 1

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
（Ⅰ）用坐標(biāo)表示出

PD

=(0，2，-2)，

MC

=(1，2，0)，即可求出異面直線CM與PD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求出平面PMC的法向量，進(jìn)而利用向量的夾角公式可求直線PD與平面PMC成角的正弦值．

解答：解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，2），M（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）
（Ⅰ） 

PD

=(0，2，-2)，

MC

=(1，2，0)，設(shè)異面直線CM與PD所成的角為α，
則cosα=

| PD • MC |

| PD || MC |

=

10

5

；
（Ⅱ）

PM

=(1，0，-2)，

PC

=(2，2，-2)
設(shè)平面PMC的法向量為

n

=(x，y，z)，∴

x-2z=0 2x+2y-2z=0

，∴平面PMC的一個(gè)法向量為

n

=(2，-1，1)
設(shè)直線PD與平面PMC成角為θ，則sinθ=cos＜

PD

，

n

＞=

| PD • n |

| PD || n |

=

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量法解決立體幾何問題，考查線線角，線面角，建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量是關(guān)鍵．